解説
条件付き確率とは、ある事象Aが起こる条件下で、別の事象Bが起こる確率のことをいいます。
記号では[math]P(B|A)[/math]などと表現し、Aが前提の上でBが成り立つ確率となります。
数式による定義は、[math]P(B|A)=P（A\land B）／P(A)[/math]と表現されます。
例）
・「あなたに彼女がいたとして、美女である確率は？」という問題の場合、「P(美女|彼女)」となります。
条件付き確率を説明する上で有名な問題がいくつかありますが、
ここでは、子供の性別を題材にした問題を取り上げて、説明していきたいと思います。
■問題
ある夫婦には子供が２人います。２人のうち少なくとも１人は男の子であるということが分かりました。このとき、２人とも男の子である確率を求めてください。
※男の子が生まれる確率、女の子が生まれる確率はともに[math]1／2[/math]とします。
■解答
男の子が生まれる確率、女の子が生まれる確率はともに[math]1／2[/math]なのだから、
２人目が男の子の確率も[math]1／2[/math]だろう。
と考えた方もいたのではないでしょうか。
しかし、残念ながら答えは「[math]1／3[/math]」です。
それでは、本当に[math]1／3[/math]になるのか、説明していきます。
条件付き確率の記号で表現すると、
A：少なくとも１人は男の子
B：２人とも男の子
となります。そのため、求める確率は[math]P(B∣A)[/math]です。
では、[math]P(B|A)=P（A\land B）／P(A)[/math]の分子・分母を求めていきましょう。
まずは、分母の[math]P(A)[/math]を求めます。
全組合わせは１「兄♂、弟♂」、２「兄♂、妹♀」、３「姉♀、弟♂」、４「姉♀、妹♀」となるため、少なくとも一人は男の子の確率は、４の場合を除く[math]P(A)=3／4[/math]です。
次に、分子の[math]P（A\land B）[/math]を求めます。
少なくとも１人は男の子で、２人とも男の子の確率（＝つまり２人とも男の子の確率）は、[math]P（A\land B）=１／４[/math]です。
求めたものを代入すれば、
[math]P(B|A)=P（A\land B）／P(A)=（１／４）÷（３／４）=（１／４）×（４／３）=１／３[/math]となります。
前提となる条件が存在する場合は、条件付き確率で考える必要があることを理解できたと思います。
ステップアップ
条件付き確率は、ベイズの定理を導出する際に利用されます。
ベイズの定理は、スパムメールの判定、マーケティング、人工知能など汎用的に活用可能です。
詳しくは、こちらで説明するためここでは割愛します。
キーワード
- 条件付き確率
- *ベイズの定理
ソースコード
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データセット
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